Кёртис родился в Веллингтоне, Новая Зеландия. Семья Ричарда и на протяжении его детства жила в нескольких странах, таких как Швеция и Филиппины. Даже сейчас часть семьи живёт в Сиднее, Австралия. Сам же Кёртис живёт в Великобритании с 11 лет.
Первым крупным успехом Ричарда Кёртиса стала романтическая комедия 1994 года Четыре свадьбы и одни похороны. В ней снималсь Хью Грант и Энди МакДауэлл. Фильм был очень популярен, а Кёртис был номинирован на Оскар в номинации «лучший сюжет».
Следующим фильмом Кёртиса стал Ноттинг Хилл, выпущенный в 1999 году. В фильме снялись Хью Грант и Джулия Робертс. Это была история о владельце магазина путеводителей, влюбившегося в знаменитую киноактрису.
Затем последовала работа над сценарием для фильма Дневник Бриджит Джонс, который выпустили в 2001 году. Это была адаптация новеллы Хелен Филдинг. Кёртис знал её, поэтом он выступил в роли соавтора.
Двумя годами позже Кёртис запустил в производство рождественскую романтическую комедию Реальная любовь, теперь он был и сценаристом, и режиссёром. Это был его режиссёрский дебют. В съёмках фильма участвовало множество знаменитых актёров, таких как Хью Грант, Кира Найтли, Алан Рикман, Эмма Томпсон, Лора Линни, Колин Фёрт,Лиам Нисон, а также талантливый молодой актёр — Томас Сангстер. Одной из особенностей фильма стали 9 сюжетных линий, которые удивительным образом переплетаются между собой.
Следующим фильмом, который получил признание публики стала драма Девушка из кафе, вышедшая на экраны в 2005 году. Главные роли сыграли Билл Найи и Келли Макдональд. Фильм получил три премии Эмми.
В 2009 году вышел фильм Рок-волна. В фильме снимаются Билл Найи, Филип Сеймур Хоффман, Рис Иванс и Кеннет Брана.
